Question

已知函數f（x）=

x3+2x-a

，若曲線y=-x²+2x上存在點（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：由已知條件得f（y₀）=y₀，y₀∈[0，1]，所以得到

y03+2y0-a

=y0，所以得到a=y03-y02+2y0，通過求導可以判斷函數y03-y02+2y0在[0，1]上單調遞增，所以得到該函數的值域為[0，2]，這便求得a的取值范圍為[0，2]．

解答： 解：由y=-x²+2x=-（x-1）²+1知，y₀≤1；
由f（f（y₀））=y₀得，f（y₀）=y₀；
∵f（y₀）≥0；
∴y₀∈[0，1]；
并得到：

y03+2y0-a

=y0；
∴a=y03-y02+2y0；
設h（y₀）=y03-y02+2y0，則h′（y₀）=3y02-2y0+2；
∵△=4-24＜0；
∴h′（y₀）＞0；
∴函數h（y₀）在[0，1]上單調遞增；
∴h（y₀）∈[h（0），h（1）]=[0，2]；
∴a∈[0，2]；
即a的取值范圍為[0，2]．
故答案為：[0，2]．

點評：考查配方法求二次函數的值域，以及通過求導數，判斷導數符號判斷函數單調性的方法，以及根據函數單調性求函數值域的方法．