Question

11．若x²⁰¹⁷=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…a₂₀₁₇（x-1）²⁰¹⁷，則$\frac{{a}_{1}}{3}+\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}+…+\frac{{a}_{2017}}{{3}^{2017}}$=（$\frac{4}{3}$）²⁰¹⁷-1．

Answer 1

分析 由題意可令x=1，以及x=$\frac{4}{3}$，代入恒等式，計算即可得到所求和．

解答 解：x²⁰¹⁷=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…a₂₀₁₇（x-1）²⁰¹⁷，
可令x=1，可得a₀=1，
再令x=$\frac{4}{3}$，可得（$\frac{4}{3}$）²⁰¹⁷=1+$\frac{{a}_{1}}{3}+\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}+…+\frac{{a}_{2017}}{{3}^{2017}}$，
則$\frac{{a}_{1}}{3}+\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}+…+\frac{{a}_{2017}}{{3}^{2017}}$=（$\frac{4}{3}$）²⁰¹⁷-1，
故答案為：（$\frac{4}{3}$）²⁰¹⁷-1．

點評 本題考查二項式定理的應用，注意運用賦值法，考查推理和運算能力，屬于中檔題．