Question

若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁內接于半徑為R的半球，上底面頂點A₁、B₁、C₁、D₁在半球球面上，下底面ABCD在半球的底面上，則該正四棱柱體積的最大值為

 

．

Answer 1

分析：在圖形中令球心為O，連接OA₁，OA，令OA₁與底面的夾角為α，則可用球的半徑R與α的三角函數值將棱柱的高與底面邊長表示出來，由此可以將棱柱的體積表示成解α的函數，求這個三角函數的最大值即可得到該正四棱柱體積的最大值

解答：解：如圖在圖形中令球心為O，底面邊長為a，連接OA₁，OA，令OA₁與底面的夾角為α，由圖OA₁=R，則棱柱的高是Rsinα，底面正方形的對角線長的一半是Rcosα
即

2

a=2Rcosα，由此得底面邊長是

2

Rcosα
故正四棱柱的體積是V=2R²cos²α×Rsinα=2R³cos²αsinα
V'=2R³（-2cosαsin²α+cos³α）=2R³cosα（-2+3cos²α）
令V'=0，可以解得cosα=0，舍，或cos²α=

2

3

，即sin²α=

1

3

，sinα=

3

3

由此知正四棱柱體積的最大值為V=2R³×

2

3

×

3

3

=

4 3

9

R3
故答案為：

4 3

9

R3

點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，求解本題關鍵是建立三角函數模型將正四棱柱體積用三角函數模型表示出來，然后借助導數研究出三角函數的最大值得出體積的最大值來，本題屬于三角函數模型在求面積中的應用，根據題意建立適當的模型是解決一個實際問題的關鍵，學習時要注意積累此類題中模型的建立方法．