Question

13．已知數集A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性質P：對任意的i，j（1≤i≤j≤n）a_ia_j與$\frac{{a}_{i}}{{a}_{j}}$兩數中至少有一個屬于A．
（1）分別判斷數集{1，3，4}與{1，2，3，6}是否具有性質 P，并說明理由；
（2）證明：a₁=1，且$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{{a}_{1}^{-1}+{a}_{2}^{-1}+…+{a}_{n}^{-1}}$=a_n；
（3）當n=5時，證明：$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}^{\;}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$．

Answer 1

分析 （1）由定義直接判斷．
（2）由已知得a_na_n與$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$中至少有一個屬于A，從而得到a₁=1；再由1=a₁＜a₂＜…＜a_n，得到a_ka_n∉A（k=2，3，…，n）．由A具有性質P可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{k}}$∈A（k=1，2，3，…，n），由此能證明a₁=1，且$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{{a}_{1}^{-1}+{a}_{2}^{-1}+…+{a}_{n}^{-1}}$=a_n．
（3）當n=5時，${a}_{5}={a}_{2}{a}_{4}={{{a}_{3}}^{2}}_{\;}$，從而a₃a₄∈A，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$∈A，由此能證明$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}^{\;}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$．

解答 解：（1）由于3×4與$\frac{4}{3}$均不屬于數集{1，3，4}，
所以數集{1，3，4}不具有性質P．
由于1×2，1×3，1×6，2×3，$\frac{6}{2}$，$\frac{6}{3}$，$\frac{1}{1}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{6}{6}$都屬于數集{1，2，3，6}，
所以數集{1，2，3，6}具有性質P．
證明：（2）因為A={a₁，a₂，…，a_n}具有性質P，
所以a_na_n與$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$中至少有一個屬于A．
由于1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，所以a_na_n＞a_n，故a_na_n∉A，
從而1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$∈A，故a₁=1；
因為1=a₁＜a₂＜…＜a_n，所以a_ka_n＞a_n，故a_ka_n∉A（k=2，3，…，n）．
由A具有性質P可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{k}}$∈A（k=1，2，3，…，n），
又因為$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$＜$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$＜…＜$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$$＜\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$，
所以$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$=a₁，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}={a}_{2}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}={a}_{n-1}$，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}={a}_{n}$，
從而$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}+…+\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=a₁+a₂+…+a_n-1+a_n，
故a₁=1，且$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{{a}_{1}^{-1}+{a}_{2}^{-1}+…+{a}_{n}^{-1}}$=a_n．
證明：（3）由（2）知，當n=5時，有$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=a₂，$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}={a}_{3}$，即${a}_{5}={a}_{2}{a}_{4}={{{a}_{3}}^{2}}_{\;}$，
因為1=a₁＜a₂＜…＜a₅，
所以a₃a₄＞a₂a₄=a₅，故a₃a₄∈A，
由A具有性質P，可知$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$∈A，
由${a}_{2}{a}_{4}={{a}_{3}}^{2}$，得$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$∈A，且1＜$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$＜a₃，
所以$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=a₂，
故$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}=\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}={a}_{2}$，
所以：$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}^{\;}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$．

點評 本題考查數集是否具有性質P的判斷，考查等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意性質P的合理運用．