Question

【題目】已知函數，．，e為自然對數的底數．

（1）如果函數在(0， )上單調遞增，求m的取值范圍；

（2）設，，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（1），則 在 上恒成立，轉化為，令 ，求導判斷單調性，解得當x=1時， 有最小值為 ，∴ 。

（2）利用分析法證明原式，即證成立，令 ，轉換為證明

成立，構造新函數 ，求導，根據單調性即可得證。

（1） ， 要使 在 上單調遞增，

則 在 上恒成立. ∴ ，∴ ，

令 ， 當 時， ， 單調遞減，

當 時， ， 單調遞增 ∴當x=1時， 有最小值為 ，

∴

（2）要證 ，只要證 ，

兩邊同時除以 得： ，令 得：

所以只要證： ，令 ，

∴ ， ，

∴ 即 ，

∴原不等式成立