Question

【題目】如圖，在四棱錐O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是邊長為2的正方形，且OA＝2，M，N分別為OA，BC的中點.

（1）求證：直線MN平面OCD；

（2）求點B到平面DMN的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）

【解析】

（1）構造平面，使之與平面平行，再通過面面平行證明線面平行即可；

（2）通過變換頂點，利用等體積法求得點到平面的距離.

（1）取中點為，連接，如下圖所示：

在中，因為分別是的中點，

故//；

在正方形中，因為分別是的中點，

故//；

又因為，平面，

，平面，

故平面//平面，

又因為平面，故//平面，即證.

（2）連接，如下圖所示：

因為點為中點，故

又因為平面，且

故.

又在中，容易知，

故邊上的高為，

故.

設點到平面的距離為，

則

解得.

故點到平面的距離為.