Question

【題目】某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本C（x）萬(wàn)元，當(dāng)年產(chǎn)量小于7萬(wàn)件時(shí)，C（x）=x2+2x（萬(wàn)元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于7萬(wàn)件時(shí)，C（x）=6x+1nx+﹣17（萬(wàn)元）．已知每件產(chǎn)品售價(jià)為6元，假若該同學(xué)生產(chǎn)的產(chǎn)M當(dāng)年全部售完．

（1）寫出年利潤(rùn)P（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；（注：年利潤(rùn)=年銷售收人﹣固定成本﹣流動(dòng)成本

（2）當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬(wàn)件時(shí)，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？（取e3≈20）

Answer 1

【答案】(1) (2) 當(dāng)年產(chǎn)量約為20萬(wàn)件時(shí)，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為11萬(wàn)元

【解析】

（1）根據(jù)年利潤(rùn)=銷售額-投入的總成本-固定成本，分0＜x＜7和當(dāng)x≥7兩種情況得到P（x）與x的分段函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)0＜x＜7時(shí)根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法來(lái)求L的最大值，當(dāng)x≥7時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求P（x）的最大值，最后綜合即可．

（1）產(chǎn)品售價(jià)為6元，則萬(wàn)件產(chǎn)品銷售收入為萬(wàn)元.

依題意得，當(dāng)時(shí)，

，

當(dāng)時(shí)，

.

∴

（2）當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，的最大值為（萬(wàn)元）.

當(dāng)時(shí)，，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，取最大值（萬(wàn)元），

∵，

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值萬(wàn)元，

即當(dāng)年產(chǎn)量約為20萬(wàn)件時(shí)，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為11萬(wàn)元.