Question

設函數.

（1）若函數在區間（-2，0）內恰有兩個零點，求a的取值范圍；

（2）當a=1時，求函數在區間[t，t+3]上的最大值.

 

Answer 1

(1) (2)

【解析】

試題分析：

(1)根據題意對函數求導,獲得導函數的根與大于0小于0的解集,獲得函數的單調區間和極值點,極值.進而確定函數在區間上的單調性,再利用數形結合的思想與零點存在性定理的知識可以得到函數在上要有兩個零點,需要滿足即可,解不等式即可求出的取值范圍.

(2)根據題意,則利用(1)可以得到的單調性以及極值點,極值.要得到函數在含參數的區間上的最大值,我們需要討論的范圍得到函數的在區間上的單調性進而得到在該區間上的最大值,為此分三種情況分別為,依次確定單調性得到最大值即可.

試題解析：

（1）∵

∴， （1分）

令，解得 （2分）

當x變化時，，的變化情況如下表：

		0	—	0
	↗	極大值	↘	極小值	↗

故函數的單調遞增區間為（-∞，-1），（a，+∞）；單調遞減區間為（-1，a）；（4分）
因此在區間（-2，-1）內單調遞增，在區間（-1，0）內單調遞減，要使函數在區間內恰有兩個零點，當且僅當， （5分）
解得， 所以a的取值范圍是（0，）. （6分）

（2）當a=1時，. 由（1）可知，函數的單調遞增區間為（-∞，-1），（1，+∞）；單調遞減區間為（-1，1）；. （7分）

①當t+3<-1，即t<-4時，

因為在區間[t，t+3]上單調遞增，所以在區間[t，t+3]上的最大值為； （9分）
②當，即時，

因為在區間上單調遞增，在區間[-1，1]上單調遞減，在區間[1，2]上單調遞增，且，所以在區間上的最大值為. （10分）

由，即時，有[t，t+3]? ，-1?[t，t+3]，所以在上的最大值為； （11分）

③當t+3>2，即t>-1時，

由②得在區間上的最大值為.

因為在區間（1，+∞）上單調遞增，所以，

故在上的最大值為. （13分）

綜上所述，當a=1時，

在[t，t+3]上的最大值. （14分）

考點：導數 最值 零點