Question

【題目】如圖，在邊長為4的菱形中, ，點分別是的中點， ，沿將翻折到，連接，得到如圖的五棱錐，且

（1）求證： 平面（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先證明，從而，根據線面垂直的判定定理可證明平面；（2）設，連接，由（1）可得，根據勾股定理可得,根據線面垂直的判定定理可得平面，以為原點， 在直線為軸， 所在直線軸， 所在直線為軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，可得結果.

試題解析：（1）點分別是的中點

菱形的對角線互相垂直

（2）設，連接 為等邊三角形，

，在中，在中，

， 平面

以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則

設平面的法向量為，由得

令得

平面的一個法向量為，

由（1）知平面的一個法向量為，

設求二面角的平面角為，

則

二面角的余弦值為

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.