Question

14．如圖，在正三棱錐P-ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，O為頂點P在底面ABC內的投影，有下列三個論斷：①AC⊥PB；②AC∥平面POD；③AB⊥平面POD，其中正確論斷的個數為（　�。�

• A． 3個
• B． 2個
• C． 1個
• D． 0個

Answer 1

分析 由P-ABC是正三棱錐，可知底面△ABC是正三角形，且頂點P在底面ABC內的投影O是底面三角形的中心，然后利用線面垂直的判定可得AC⊥平面PBE，AB⊥平面POD，可知①③正確；由AC∩平面POD=C知②錯誤．

解答 解：∵P-ABC是正三棱錐，∴底面△ABC是正三角形，
且頂點P在底面ABC內的投影O是底面三角形的中心，
又D，E分別是AB，AC的中點，則BE∩CD于O，且BE⊥AC，CD⊥AB．
又PO⊥底面ABC，∴PO⊥AC，PO⊥AB，則AC⊥平面PBE，
有AC⊥PB，故①正確；
AB⊥平面PCD，即AB⊥平面POD，故③正確；
AC∩平面POD=C，故②錯誤．
∴正確論斷的個數為2個．
故選：B．

點評 本題考查棱錐的結構特征，考查了線面垂直的判定和性質，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．