Question

16．若二項式（$\frac{\sqrt{5}}{5}$x²+$\frac{1}{x}$）⁶的展開式中的常數項為m，則$\int_1^m$（2x²-4x）dx=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 利用二項式定理的通項公式可得m，再利用微積分基本定理即可得出．

解答 解：二項式（$\frac{\sqrt{5}}{5}$x²+$\frac{1}{x}$）⁶的展開式中的通項公式T_r+1=${∁}_{6}^{r}$$（\frac{\sqrt{5}}{5}{x}^{2}）^{6-r}$$（\frac{1}{x}）^{r}$=$（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{6-r}$${∁}_{6}^{r}$x^12-3r，
令12-3r=0，解得r=4．
∴m=$（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}{∁}_{6}^{4}$=3．
則$\int_1^m$（2x²-4x）dx=${∫}_{1}^{3}$（2x²-4x）dx=$（\frac{2}{3}{x}^{3}-2{x}^{2}）{|}_{1}^{3}$=$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了二項式定理的通項公式、微積分基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．