Question

數列{a_n}滿足：a_n+1=2（a_n-1）²+1且a₁=3，a_n＞1
（1）設b_n=log₂（a_n-1），求證：{b_n+1}為等比數列；
（2）設c_n=nb_n，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）a_n+1=2（a_n-1）²+1且a₁=3，a_n＞1，變形為an+1-1=2(an-1)2，兩邊取對數可得log₂（a_n+1-1）=2log₂（a_n-1）+1，即b_n+1=2b_n+1，變形為b_n+1+1=2（b_n+1），即可證明．
（2）利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： （1）證明：∵a_n+1=2（a_n-1）²+1且a₁=3，a_n＞1，
∴an+1-1=2(an-1)2，
∴log₂（a_n+1-1）=2log₂（a_n-1）+1，
∴b_n+1=2b_n+1，
化為b_n+1+1=2（b_n+1），
∴數列{b_n+1}為等比數列，首項為b₁+1=log₂（a₁-1）+1=2，公比為2；
（2）解：由（1）可得：bn=2n，
∴c_n=nb_n=n•2ⁿ．
∴S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查了等比數列的定義及其前n項和公式、“錯位相減法”、對數的運算性質，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．