Question

【題目】設A、B是拋物線上分別位于x軸兩側的兩個動點，且，（其中O為坐標原點）．

（1）求證：直線必與x軸交于一定點Q，并求出此定點Q的坐標；

（2）過點Q作直線的垂線與拋物線交于C、D兩點，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）88.

【解析】

（1）設直線的方程為，，聯立消得，，由韋達定理得，，根據，得，由此解方程即可得到本題答案；

（2）由弦長公式，得，，所以四邊形的面積，通過換元法，利用函數的單調性即可求得本題答案.

（1）證明：易知直線的斜率不為0，設直線的方程為， ，，

由消得， ，

則，且 ，

由，得，

解得，或（舍去），

所以，可得，即直線的方程為，

所以直線恒過定點 ；

（2）由（1）得， ，

同理， ，

因為，所以四邊形的面積

，

令（，當且僅當時等號成立），

則，易知函數在上是增函數，所以當時，取得最小值88，故四邊形面積的最小值為88.