Question

2．已知函數f（x）=|x-2|-|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+x＞0；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≤a²-2a在R上的解集為R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍求出各個區間上的不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）根據絕對值的性質，得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）+x＞0可化為|x-2|+x＞|x+1|，
當x＜-1時，-（x-2）+x＞-（x+1），解得x＞-3，即-3＜x＜-1；
當-1≤x≤2時，-（x-2）+x＞x+1，解得x＜1，即-1≤x＜1；
當x＞2時，x-2+x＞x+1，解得：x＞3，即x＞3，
綜上所述，不等式f（x）+x＞0的解集為{x|-3＜x＜1或x＞3}．…（5分）
（Ⅱ）由不等式f（x）≤a²-2a，
可得|x-2|-|x+1|≤a²-2a，
∵|x-2|-|x+1|≤|x-2-x-1|=3，
∴a²-2a≥3，即a²-2a-3≥0，解得a≤-1或a≥3，
故實數a的取值范圍是a≤-1或a≥3．…（10分）

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值的性質，是一道中檔題．