Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若不等式對(duì)任意的恒成立,求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí),記的最小值為,正實(shí)數(shù),,滿足,證明：.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析

【解析】

(1)根據(jù)化簡(jiǎn)可得在時(shí)恒成立.再求解絕對(duì)值不等式,利用恒成立的方法求解即可.

(2)代入,將寫出分段函數(shù)分析得出最小值,再利用三元的平方和公式以及基本不等式證明,再同理證明即可.

(1)因?yàn)?/span>,故即,化簡(jiǎn)可得在時(shí)恒成立.即或恒成立.

故或恒成立.

解得或.又,故.

綜上,

(2)由題, .

故當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), .

故的最小值為.即,要證明

可先證明：

因?yàn)?/span>

,即,

故,故.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

設(shè),則已知,要證.

同理

,即,

故,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

綜上有當(dāng)時(shí),成立. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).