【題目】已知橢圓的離心率與雙曲線
的離心率互為倒數,
分別為橢圓的左、右頂點,且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知過左頂點的直線
與橢圓
另交于點
,與
軸交于點
,在平面內是否存在一定點
,使得
恒成立?若存在,求出該點的坐標,并求
面積的最大值;若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2)
,
.
【解析】
(1)根據題意,由雙曲線的標準方程,求出和
,利用
,求得
,根據離心率
,即可求出雙曲線的離心率,結合題意,得出橢圓的離心率,根據橢圓中
,得出
,進而求出
,最后利用
,求出
,即可得出橢圓的標準方程;
(2)設直線的方程為:
,
,可求出與
軸交于點
,聯立方程組,寫出韋達定理,進而可求出
,設點
,求出
和
,通過
,化簡后通過直線過定點得出
,由弦長公式求出
,以及利用點到直線的距離公式求出點
到直線
:
的距離
,最后利用
,化簡后可得出
面積的最大值.
解:(1)由題可知,雙曲線,
則,
,
,
所以,
所以雙曲線的離心率:,
由于橢圓的離心率與雙曲線
的離心率互為倒數,
則橢圓的離心率為,
而分別為橢圓的左、右頂點,且
,
則,得
,所以
,
,
所以橢圓的標準方程為:
.
(2)由(1)可知,,
,
直線過點
,與橢圓
另交于點
,與
軸交于點
,
則設直線的方程為:
,
,
令,得
,則
,
將代入
得:
,
則,而
,則
,
由于,
得,
設點,則
,
,
要使得,
則
即
即,則
,
即,則過定點
,
即在平面內存在一定點,使得
恒成立,
由于,
設點到直線
:
的距離為
,
則,
所以的面積為:
,
因為,當且僅當
時,即
時,取等號,
則,
所以的最大值為
,即
面積的最大值為
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設函數的最小正周期為
,且其圖象關于直線
對稱,則在下面結論中正確的個數是( )
①圖象關于點對稱;
②圖象關于點對稱;
③在上是增函數;
④在上是增函數;
⑤由可得
必是
的整數倍.
A.4B.3C.2D.1
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】對于兩個定義域相同的函數、
,若存在實數
,
,使
則稱函數
是由“基函數
”生成的.
(1)若和
生成一個偶函數
,求
的值;
(2)若是由
和
生成,其中
,
.且
求
的取值范圍;
(3)利用“基函數,
”生成一個函數
,使得
滿足:
①是偶函數,②有最小值,求
的解析式.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車,等可能隨機順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發奇想,設計兩種乘車方案.方案一:不乘坐第一輛車,若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號,就乘坐此車,否則乘坐第三輛車;方案二:直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1,P2,則( )
A. P1P2= B. P1=P2=
C. P1+P2=
D. P1<P2
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】△ABC的內角A. B. C的對邊分別為a,b,c,己知=b(
c-asinC)。
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=,
,求△ABC的面積。
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某校為了增強學生的記憶力和辨識力,組織了一場類似《最強大腦》的PK賽,兩隊各由4名選手組成,每局兩隊各派一名選手PK,比賽四局.除第三局勝者得2分外,其余各局勝者均得1分,每局的負者得0分.假設每局比賽A隊選手獲勝的概率均為
,且各局比賽結果相互獨立,比賽結束時A隊的得分高于B隊的得分的概率為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,為平行四邊形ABCD所在平面外一點,M,N分別為AB,PC的中點,平面PAD
平面PBC=
.
(1)求證:BC∥;
(2)MN與平面PAD是否平行?試證明你的結論.
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