Question

設x，y滿足約束條件

x-2y+4≥0 3x-y-3≤0 x≥0，y≥0

，若目標函數z=mx+ny（m＞0，n＞0）的最大值為3，則

3

m

+

2

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規劃的應用

專題：不等式的解法及應用

分析：可以作出不等式的平面區域，推出2m+3n=3，求

3

m

+

2

n

的最小值，先用乘積進而用基本不等式解答．

解答： 解：不等式組

x-2y+4≥0 3x-y-3≤0 x≥0，y≥0

表示的平面區域如圖所示陰影部分，
當直線z=mx+ny（m＞0，n＞0）
過直線x-2y+4=0與直線3x-y-3=0的交點（2，3）時，
目標函數z=mx+ny（m＞0，n＞0）取得最大3，
即2m+3n=3，而

3

m

+

2

n

=

1

3

（

3

m

+

2

n

）（2m+3n）=

1

3

(12+

9n

m

+

4m

n

)≥

1

3

(12+12)=8，當且僅當

9n

m

=

4m

n

時去等號．
故

3

m

+

2

n

的最小值為：8．
故答案為：8．

點評：本題綜合地考查了線性規劃問題和由基本不等式求函數的最值問題．要求能準確地畫出不等式表示的平面區域，并且能夠求得目標函數的最值