Question

19．已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=2n•a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，通過通項公式與數列和的關系，推出數列的等比數列，求出數列的首項即可推出通項公式．
（2）利用錯位相減法求解數列的和即可．

解答 解：（1）由已知S_n=2a_n-a₁，有a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n≥2）即a_n=2a_n-1（n≥2）
從而a₂=2a₁，a₃=2a₂=4a₁，又因為a₁，a₂+1，a₃成等差數列即a₁+a₃=2（a₂+1）
所以a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2
所以，數列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數列，故a_n=2ⁿ．
（2）${b_n}=n•{2^{n+1}}$，T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，…①
2T_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺²，…②
①-②可得：-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²．
${T_n}={2^{n+2}}（n-1）+4$

點評 本題考查數列的通項公式的求法，數列求和，錯位相減法求和的應用，考查計算能力．