Question

底面為正三角形且側棱與底面垂直的三棱柱稱為正三棱柱，則棱長均為a的正三棱柱外接球的表面積為

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：由題意可知上下底面中心連線的中點就是球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．

解答： 解：根據題意條件可知三棱柱是棱長都為a的正三棱柱，
設上下底面中心連線EF的中點O，則O就是球心，
則其外接球的半徑為OA₁，又設D為A₁C₁中點，
在直角三角形EDA₁中，EA₁=

A1D

sin60°

=

a

2sin60°

，
在直角三角形ODA₁中，OE=

a

2

，由勾股定理R=OA₁=

7 12 a2

，
∴球的表面積為S=4π•

7

12

a2=

7π

3

a2．
故答案為：

7π

3

a2．

點評：本題主要考查空間幾何體中位置關系、球和正棱柱的性質以及相應的運算能力和空間形象能力．