Question

6．如圖，在三棱臺ABC-DEF中，AB=BC=AC=2，AD=DF=FC=1，N為DF的中點，二面角D-AC-B的大小為$\frac{2π}{3}$．
（Ⅰ）證明：AC⊥BN；
（Ⅱ）求直線AD與平面BEFC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中點M，連接NM，BM，則AC⊥NM，AC⊥BM，BM∩NM=M，證明：AC⊥平面NBM，即可證明AC⊥BN；
（Ⅱ）過A作AH⊥EC于點H，連接HP，則AH⊥平面PBC．∠APH為直線AD與平面BEFC所成角，即可求直線AD與平面BEFC所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：取AC中點M，連接NM，BM，則AC⊥NM，AC⊥BM，BM∩NM=M，
∴AC⊥平面NBM，
∵BN?平面NBM，
∴AC⊥BN；
（Ⅱ）解：化臺為錐，則△PAC是等邊三角形，連接AE，EC，則∠PMB為二面角D-AC-B的平面角，即∠PMB=$\frac{2π}{3}$．
∵AB=AP=BC=CP=2，E為PB的中點，
∴PB⊥平面AEC，平面AEC⊥平面PBC．
過A作AH⊥EC于點H，連接HP，則AH⊥平面PBC．
∴∠APH為直線AD與平面BEFC所成角，
∵AE=CE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，∴AH=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴sin∠APH=$\frac{AH}{AP}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質，考查線面角、二面角的平面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．