Question

（1）已知點A（1，1），B（2，2），點P在直線y=

1

2

x上，求|PA|²+|PB|²取得最小值時P點的坐標．
（2）曲線y=2x-x³在橫坐標為-l的點處的切線為l，求點P（3，2）到直線l的距離．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,兩點間距離公式的應用

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）先設出點P的坐標，設P（2t，t），由兩點間距離公式表示出|PA|²+|PB|²的關于參數t的表達式，再利用函數的相關知識求解出函數的最小值，即得出|PA|²+|PB|²取得最小值與坐標；
（2）由于曲線y=2x-x³在橫坐標為-1的點處的切線為l，將-1代入求得切點的坐標，再求出y=2x-x³的導數，將-1代入求出切線的斜率，由點斜式求出切線的方程，整理成一般式，用公式求距離．

解答： 解：（1）設P（2t，t），
則|PA|²+|PB|²=（2t-1）²+（t-1）²+（2t-2）²+（t-2）²=10t²-18t+10
當t=

9

10

時，|PA|²+|PB|²取得最小值，此時有P(

9

5

，

9

10

)．
|PA|²+|PB|²取得最小值時P點的坐標為P(

9

5

，

9

10

)；
（2）∵y=2x-x³，∴y'=2-3x²，
又切點的橫坐標為-1，故切點的縱坐標是-1，y'=-1，
故切線的方程是y+1=-（x+1），即切線的方程是x+y+2=0
所以點P（3，2）到直線l的距離d=

|3+2+2|

2

=

7 2

2

點評：本題（1）考點是兩點間距離公式，考查用兩點間距離公式建立起相關量的函數關系，轉化為求函數的最值，轉化思想是數學中的重要思想，由未知向已知轉化是解決問題的一個實用的技巧．（2）考查利用導數研究曲線上某點切線方程，點到直線的距離公式，解題的關鍵是求熟練掌握用導數求切線斜率的方法及點到直線的距離公式，直線的點斜式方程．