Question

點P是以F₁、F₂為焦點的雙曲線E：上的一點，已知PF₁⊥PF₂，|PF₁|一2|PF₂|，O為坐標原點．

(1)求雙曲線的離心率e;

(2)過點P作直線分別與雙曲線兩漸近線相交于P₁、P₂兩點，，，求雙曲線E的方程；

(3)若過點Q(m，0)(m為非零常數)的直線與(2)中的雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N且 (為非零實數)，問在軸上是否存在定點G，使?若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)∵|PF₁|=2|PF₂|，|PF₁|―|PF₂|=2，

     ∴|PF₁|=4，|PF₂|=2

     ∵PF₁⊥PF₂，∴(4)²+(2)²=(2c)²，

     ∴e=

    (2)由(1)知雙隨線的方程可設為，

    漸近線方程為．

設P₁(₁，2₁)，P₂(₂，－2₂)，P(，y)

∵．

    ∵

    ∵點P在雙曲線上，

    ∴

    化簡得,∴

    ∴雙曲線方程為

    (3)設在軸上存在定點G(t，0)使．

①若直線⊥軸時，|m|> (確保直線與雙曲線E有兩個不同交點)．

時，則有且對軸上任一點G，，

    

    ②若直線不垂直軸時，設直線：，，N．

聯立－8=0

    ,

∵，

   

的充要條件為

由

又∵

    ∴

    ∴

    ∴

    ∴

    ∴

    ∴    ∴

綜上，在軸上存在一點G(,0)，使。