Question

正項數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-

an+1

=a_n+

an

（1）數列{

an

}是否為等差數列？說明理由
（2）求a_n．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據數列的遞推關系，利用因式分解法，結合等差數列的定義即可判斷數列{

an

}是否為等差數列．
（2）根據數列{

an

}是等差數列，結合等差數列的通項公式即可求a_n．

解答： 解：（1）由a_n+1-

an+1

=a_n+

an

得，
a_n+1-a_n=

an+1

+

an

，
即（

an+1

-

an

）（

an+1

+

an

）=

an+1

+

an

，
∵a_n＞0，
∴

an+1

-

an

=1，
則數列{

an

}是公差d=1的等差數列，首項為

a1

=1．
（2）∵數列{

an

}是公差d=1的等差數列，首項為

a1

=1．
∴

an

=1+（n-1）×1=n，
則a_n=n²．

點評：本題主要考查等差數列的判斷以及利用等差數列求數列的通項公式，利用因式分解法是解決本題的關鍵．