Question

三棱柱的側棱與底面垂直，且底面是邊長為2的等邊三角形，其正視圖（如圖所示）的面積為8，則該三棱柱外接球的表面積為（　　）

• A、

  16π

  3

• B、

  28π

  3

• C、

  64π

  3

• D、24π

Answer 1

考點：球的體積和表面積,簡單空間圖形的三視圖

專題：球

分析：由題意推出三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，求出球的半徑，即可求出外接球的表面積．

解答：解：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面邊長為2，正視圖（如圖所示）的面積為8，∴棱柱的高為4，
由題意可得：三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心為O，外接球的半徑為r，球心到底面的距離為2，
底面中心到底面三角形的頂點的距離為：

22+( 2 3 × 3 2 ×2)2

=

4 3

3

，
∴球的半徑為r=

4 3

3

．
外接球的表面積為：4πr²=4×(

4 3

3

)2π=

64π

3

．
故選：C．

點評：本題考查空間想象能力，計算能力；三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關鍵，仔細觀察和分析題意，是解好數學題目的前提．