Question

若關于x的不等式x²＜2-丨x-a丨至少有一個實數根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：原不等式為：2-x²＞|x-a|，我們在同一坐標系畫出y=2-x²（y＞0）和 y=|x-a|兩個圖象，利用數形結合思想，易得實數a的取值范圍．

解答： 解：不等式為：2-x²＞|x-a|，且 0＜2-x²．
在同一坐標系畫出y=2-x²（y＞0）和 y=|x-a|兩個函數圖象，
如圖示：

將絕對值函數 y=|x|向左移動，當右支和y=-x²+2相切時，
得

y=-x2+2 y=x-a

，
∴x²+x-a-2=0，
∴△=1+4（a+2）=0，解得：a=-

9

4

，
將絕對值函數 y=|x|向右移動，當左支和y=-x²+2相切時，
得

y=-x2+2 y=-x+a

，
∴x²-x+a-2=0，
∴△=1-4（a-2）=0，解得：a=

9

4

，
∴-

9

4

≤a≤

9

4

．

點評：題考查的知識點是一元二次函數的圖象，及絕對值函數圖象，其中在同一坐標中，畫出y=2-x²（y＞0）和 y=|x-a|兩個圖象，結合數形結合的思想得到答案，是解答本題的關鍵．