Question

若函數f（x）=ax³+bx²-3x+c為奇函數，且在（-∞，-1）上單調遞增，在（-1，1）上單調遞減．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若過點A（1，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由函數f（x）=ax³+bx²-3x+c為奇函數得f（0）=0且f（-x）=-f（x），可求得c=0，b=0，然后求導由在（-∞，-1）上單調遞增，在（-1，1）上單調遞減可得f′（1）=0，可求a；（2）先將過點A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線轉化為：方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三個不同實數根，記g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），下面利用導數研究函數g（x）的零點，從而求得m的范圍．

解答： 解：（1）函數f（x）=ax³+bx²-3x+c為奇函數，可求得函數定義域為R，
則f（0）=0，解得c=0，代入得f（x）=ax³+bx²-3x，
又f（-x）=-f（x），即a（-x）³+b（-x）²-3×（-x）=-ax³+bx²-3x，化簡解得b=0，代入得f（x）=ax³-3x，
對函數求導可得，f′（x）=3ax²-3，又由題意函數在（-∞，-1）上單調遞增，在（-1，1）上單調遞減，則x=1時取得極大值，則f′（1）=0即3a-3=0，解得a=1，
綜上函數f（x）的解析式為：f（x）=x³-3x；
（2）過點A（1，m）向曲線y=f（x）作切線，設切點為（x₀，y₀）
則y₀=x₀³-3x₀，k=f'（x₀）=3x₀²-3．
則切線方程為y-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（x-x₀）
將A（1，m）代入上式，整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0，
∵過點A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三個不同實數根，
記g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），
令g'（x）=0，x=0或1，
則x，g'（x），g（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增

當x=0，g（x）有極大值m+3；x=1，g（x）有極小值m+2
由題意有，當且僅當

g(0)＞0 g(1)＜0

，即

m+3＞0 m+2＜0

，-3＜m＜-2時，
函數g（x）有三個不同零點，
此時過點A可作曲線y=f（x）的三條不同切線．故m的范圍是（-3，-2）．

點評：本題主要考查了導數的幾何意義：導數在某點處的導數即為改點的切線的斜率，導數的極值存在的條件的應用及利用函數與方程的相互轉化求解參數的范圍，屬于導數知識的綜合應用．