Question

已知橢圓

x2

9

+y²=1的左焦點F₁，過F₁作直線交橢圓于點M，N，設∠MF₁F₂=α，問：α為何值時，|MN|等于短軸長？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出橢圓的a，b，c，設直線MN：y=k（x+2

2

），聯立橢圓方程，消去y，運用韋達定理，以及弦長公式，化簡整理，解方程，即可得到所求值．

解答： 解：橢圓

x2

9

+y²=1的a=3，b=1，c=2

2

，
則設直線MN：y=k（x+2

2

），聯立橢圓方程，消去y，得，
（1+9k²）x²+36

2

k²x+72k²-9=0，
x₁+x₂=-

36 2 k2

1+9k2

，x₁x₂=

72k2-9

1+9k2

，
則弦長|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -36 2 k2 1+9k2 )2-4× 72k2-9 1+9k2

=2，
化簡整理，即得k²=

1

3

，即有k=±

3

3

，
由tanα=±

3

3

，即有α=

π

6

或

5π

6

．
故有α=

π

6

或

5π

6

時，|MN|等于短軸長．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查直線方程和橢圓方程聯立，消去未知數，運用韋達定理以及弦長公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．