Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+1（a∈R）．
（1）函數y=f（x）是否可能在R上是單調函數？若可能，求出實數a的取值范圍．
（2）若函數y=f（x）在區間（0，

2

3

）上遞增，在區間（1，+∞）上遞減，求出實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：（1）由f（x）的解析式求出導函數，導函數為開口向下的拋物線，若函數在R上為單調增函數，所以導函數對應方程的判別式△≤0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到實數a的取值范圍，（2）求導令f'（x）=0，依題意對導函數符號做出分析．

解答： 解：（1）∵f′（x）=-3x²+2ax，
若f（x）在R上單調，只需△≤0，即4a²+12≤0即a=0，
此時f′（x）≤0，f（x）在R上遞減；
（2）由于函數f（x）=-x³+ax²+1（a∈R），
則導函數f′（x）=-3x²+2ax=x（-3x+2a），
則f'（x）=0 有兩根x₁=0 x₂=

2a

3

，
又函數y=f（x）在區間（0，

2

3

）上遞增，在區間（1，+∞）上遞減，
則要求在區間（0，

2

3

）上，導函數f′（x）≥0；
且在區間（1，+∞）上，導函數f′（x）≤0，
所以

2

3

≤x₂≤1，即

2

3

≤

2a

3

≤1，
解得1≤a≤

3

2

．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及恒成立問題的轉化，掌握二次函數恒成立時所取的條件，屬于綜合題．