Question

4．已知函數f（x）=sin2x+2cos²x-1，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）在區間[$\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}\end{array}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期．
（2）函數f（x）x在區間[$\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}\end{array}$]上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：函數f（x）=sin2x+2cos²x-1，x∈R．
化簡可得：f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}}\end{array}$）．
（1）函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
（2）x在區間[$\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}\end{array}$]上，即$\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}}\end{array}$，
那么：$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}}\end{array}$≤$\frac{5π}{4}$
根據三角函數的性質可知：
當2x+$\frac{π}{4}}\end{array}$=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最大值為f（$\frac{π}{2}$）_max=$\sqrt{2}$．
當2x+$\frac{π}{4}}\end{array}$=$\frac{5π}{4}$時，函數f（x）取得最大值為f（$\frac{5π}{4}$）min=-1．
故得函數f（x）在區間[$\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}\end{array}$]上的最大值為$\sqrt{2}$，最小值為-1．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．