Question

【題目】如圖，已知圓，拋物線的頂點為，準線的方程為，為拋物線上的動點，過點作圓的兩條切線與軸交于.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）若，求△面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1).

(2)32.

【解析】分析：（Ⅰ）根據拋物線的準線方程可得，故拋物線的方程可求出.

（Ⅱ）求出過的圓的切線的方程后可得兩點的橫坐標，它們可用及其相應的斜率表示，因此也與這三者相關.再利用圓心到直線的距離為半徑得到斜率滿足的方程，利用韋達定理和消元后可用關于的函數表示，求出該函數的最小值即可.

詳解：（Ⅰ）設拋物線的方程為，

則，∴，所以拋物線的方程是.

（Ⅱ）設切線，即，

切線與軸交點為，圓心到切線的

距離為，化簡得

設兩切線斜率分別為，則

=，當且僅當時取等號.

所以切線與軸圍成的三角形面積的最小值為32.