Question

7．已知函數f（x）=2^x-2^-x，定義域為R，函數g（x）=2^x+1-2^2x，定義域為[-1，1]．
（Ⅰ）判斷函數f（x）的奇偶性并證明；
（Ⅱ）若不等式f[g（x）]+f（-m²+2m+2）≤0對于一切x∈[-1，1]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由定義域為R，f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），可判斷函數f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用函數單調性的定義，可判斷出f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，再由不等式f[g（x）]+f（-m²+2m+2）≤0對于一切x∈[-1，1]恒成立等價轉化為g（x）≤m²-2m-2對一切x∈[-1，1]恒成立，從而可求m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）定義域為R且f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），
∴f（x）為奇函數…（4分）
（Ⅱ）在（-∞，+∞）上任取兩個不等的實數x₁，x₂，不妨設x₁＜x₂，則
$\left.\begin{array}{l}{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）=（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{-{x}_{2}}）}\end{array}\right.$-$\left.\begin{array}{l}{（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{-{x}_{1}}）=（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）+[{（\frac{1}{2}）}^{{x}_{1}}-{（\frac{1}{2}）}^{{x}_{2}}]}\end{array}\right.$
$\left.\begin{array}{l}{\left.\begin{array}{l}{\;}\\{=（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）（1+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}）}\end{array}\right.}\end{array}\right.$，
由于x₁＜x₂，所以${2^{x_2}}-{2^{x_1}}＞0，1+\frac{1}{{{2^{x_1}}{2^{x_2}}}}＞0$，即f（x₂）＞f（x₁），
函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增…（6分）
由f（g（x））+f（-m²+2m+2）≤0，
得f（g（x））≤-f（-m²+2m+2），
即f（g（x））≤f（m²-2m-2），
又因為函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，所以g（x）≤m²-2m-2對一切x∈[-1，1]恒成立，
即（g（x））_max≤m²-2m-2，…．（8分）
g（x）=2^x+1-2^2x=-（2^x-1）²+1，
∵-1≤x≤1，∴$\frac{1}{2}$≤2^x≤2，
故g（x）=-（2^x-1）²+1≤1…（10分）
即g（x）_max=1，所以m²-2m-2≥1，所以m≥3或m≤-1…（12分）

點評 本題考查函數恒成立問題，考查函數單調性的判定與指數函數單調性的應用，突出考查函數與方程思想、等價轉化思想的綜合運用，考查邏輯思維與運算能力，屬于難題．