Question

已知函數
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）設a＞0，求函數f（x）在[2a，4a]上的最小值；
（3）某同學發現：總存在正實數a、b（a＜b），使a^b=b^a，試問：他的判斷是否正確？若不正確，請說明理由；若正確，請直接寫出a的取值范圍（不需要解答過程）．

Answer 1

解：（1）定義域為（0，+∞），，
令，則x=e，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗		↘

∴f（x）的單調增區間為（0，e）；單調減區間為（e，+∞）．…（4分）
（2）由（1）知f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，所以，
當4a≤e時，即時，f（x）在[2a，4a]上單調遞增，∴f（x）_min=f（2a）；
當2a≥e時，f（x）在[2a，4a]上單調遞減，∴f（x）_min=f（4a）
當2a＜e＜4a時，即時，f（x）在[2a，e]上單調遞增，f（x）在[e，4a]上單調遞減，
∴f（x）_min=min{f（2a），f（4a）}．
下面比較f（2a），f（4a）的大小，…（8分）
∵，
∴若，則f（a）-f（2a）≤0，此時；
若，則f（a）-f（2a）＞0，此時；…（10分）
綜上得：
當0＜a≤1時，；
當a＞1時，，…（12分）
（3）正確，a的取值范圍是1＜a＜e …（16分）
理由如下，考慮幾何意義，即斜率，當x→+∞時，f（x）→0
又∵f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減
∴f（x）的大致圖象如右圖所示
∴總存在正實數a，b且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），即，即a^b=b^a．
分析：（1）先確定函數的定義域，再利用導數，可求函數f（x）的單調區間；
（2）根據f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，結合函數的定義域，分類討論，可求函數f（x）在[2a，4a]上的最小值；
（3）a的取值范圍是1＜a＜e，利用f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，即可求得．
點評：本題重點考查導數的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，有一定的綜合性．