Question

已知a，b為不相等實數，設定義在R上的函數f（x）的導函數為f′（x），命題：“?x₁，x₂∈（a，b），λ＞0，且x₁＜x₂，都有f(

x1+λx2

1+λ

)＞

f(x1)+λf(x2)

1+λ

”為真，那么下列4個結論中正確的個數是（　　）
①f（x）在區間（a，b）內必有極大值；
②f（x）在區間（a，b）內單調增；
③必定存在唯一的x₀∈（a，b），使得f′（x₀）=

f(a)-f(b)

a-b

；
④導函數f′（x）在區間（a，b）上單調遞減．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據題意判定函數是凸函數，畫出函數的圖象后，利用數形結合逐一判定四個結論的真假，即可得到答案．

解答：解：∵?x₁，x₂∈（a，b），λ＞0，
∴P₁（x₁y₁），P₂（x₂，y₂） 的定比分點P（

x1+λx2

1+λ

，

f(x1)+λf(x2)

1+λ

）
∵f（

x1+λx2

1+λ

）＞

f(x1)+λf(x2)

1+λ

，
∴函數為凸函數，故③正確；

故f′（x）在區間（a，b）上遞減，故④正確；
但f（x）在區間（a，b）內的單調性無法判斷，
故①②錯誤
故選：B

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數的凸凹性和單調性，其中分析出函數的凸凹性是解答的關鍵．