Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx，（a，b為常數，且a≠0）滿足條件f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有兩個相等的實根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實數m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]與[3m，3n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（-x+5）=f（x-3），得函數的對稱軸為x=1，又方程f（x）=x有兩相等實根，即ax²+（b-1）x=0有兩相等實根0，由此可求出a，b的值．
（2）本題主要是借助函數的單調性確定出函數在[m，n]上的單調性，找到區間中那個自變量的函數值是3m，3n，由此建立方程求解，若能解出值，說明存在，否則不存在．

解答：解：（1）∵f（-x+5）=f（x-3），∴f（x）的對稱軸為x=1，
即-

b

2a

=1即b=-2a．
∵f（x）=x有兩相等實根，∴ax²+bx=x，
即ax²+（b-1）x=0有兩相等實根0，
∴-

b-1

a

=0，
∴b=1，a=-

1

2

，
∴f（x）=-

1

2

x²+x．
（2）f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，
故3n≤

1

2

，故m＜n≤

1

6

，
又函數的對稱軸為x=1，故f（x）在[m，n]單調遞增則有f（m）=3m，f（n）=3n，
解得m=0或m=-4，n=0或n=-4，又m＜n，故m=-4，n=0．

點評：本題考點是二次函數的性質考查綜合利用函數的性質與圖象轉化解題，（1）中通過有相等的0根這一特殊性求參數；（2）中解法入手最為巧妙，根據其圖象開口向下這一性質，求出函數的最大值，利用最大值解出參數n的取值范圍，從而結合對稱軸為x=1得出函數在區間[m，n]單調性，得到方程組

f(m)=3m f(n)=3n

，求參數，題后應好好總結每個小題的轉化規律．