Question

2．已知$f（x）=2+log_2^x，x∈[{\frac{1}{4}，4}]$，試求y=[f（x）]²+f（x²）的值域[1，13]．

Answer 1

分析 根據$x∈[\frac{1}{4}，4]$，求出y=[f（x）]²+f（x²）的定義域，利用換元法求解值域．

解答 解：由題意，$x∈[\frac{1}{4}，4]$，
則f（x²）的定義域為[$\frac{1}{2}$，2]，
故得函數y=[f（x）]²+f（x²）的定義域為[$\frac{1}{2}$，2]．
∴y=（2+log₂x）²+2+2log₂x．
令log₂x=t，（-1≤t≤1）．
則y=（2+t）²+2t+2=t²+6t+6．
開口向上，對稱軸t=-3．
∴當t=-1時，y取得最小值為1．
當t=1時，y取得最大值為13，
故得函數y的值域為[1，13]．
故答案為[1，13]．

點評 本題考查了復合函數的定義域的求法和利用換元法轉化為二次函數問題求解值域的問題，屬于基礎題．