Question

11．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，三角形ABC為等腰直角三角形，AC=BC=$\sqrt{2}$，AA₁=1，點D是AB的中點．
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（2）二面角B₁-CD-B的平面角的大小．

Answer 1

分析 （1）設BC₁∩B₁C=E，連接ED，則ED∥AC，由此能證明AC₁∥平面CDB₁．
（2）推導出CD⊥AB，BB₁⊥CD，從而CD⊥平面ABB₁A₁，進而CD⊥B₁D，CD⊥AB，∠B₁DB為二面角B₁-CD-B的平面角，由此能求出二面角B₁-CD-B的平面角的大小．

解答 （本小題10分）
證明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
設BC₁∩B₁C=E，則E為BC₁的中點，連接ED
∵D為AB的中點，∴ED∥AC…..（3分）
又∵ED?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．   …（5分）
解：（2）∵△ABC中，AC=BC，D為AB中點，∴CD⊥AB，
又∵BB₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴BB₁⊥CD，
又AB∩BB₁=B，∴CD⊥平面ABB₁A₁，…（7分）
∵B₁D?平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁
∴CD⊥B₁D，CD⊥AB，
∴∠B₁DB為二面角B₁-CD-B的平面角…（8分）
∵三角形ABC中，AB=2，∴BD=1，
在Rt△B₁BD中，$tan∠{B_1}BD=\frac{{{B_1}B}}{BD}=1$，
∴∠B₁BD=45°，
∴二面角B₁-CD-B的平面角的大小為45°．…（10分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．