Question

（08年北師大附中月考） 已知函數f (x )對任意的x∈R都有f (x ) + f (1－x) =.

（1）求f ()和f () + f ()（n∈N*）的值；

（2）數列{a_n}滿足a_n = f (0) + f () + f () + … + f () + f (1)，求數列{a_n}的通項公式a_n；

（3）令b_n = (a_n－)×3ⁿ，數列{b_n}的前n項的和S_n.

Answer 1

解析：（1）∵ 函數f (x )對任意的x∈R都有f (x ) + f (1－x) =.

∴ 令x =時，f () + f () =，解得f () =；

   令x =時，則f () + f () =.

（2）由（1）可知， f () + f () =，

故有：f (0) + f (1) = f () + f () = … =，

a_n = f (0) + f () + f () + … + f () + f () + f (1)，

a_n = f (1) + f () + f () + … + f () + f () + f (0)，

上面二式相加，得：2a_n = n [ f (0) + f (1)] =(n + 1)，解得a_n =.

（3）由（2）可知，b_n = (a_n－)×3ⁿ =n×3ⁿ，

∴ S_n =×3 +×2×3² +×3×3³ +×4×3⁴ + … +n×3ⁿ，       ①

3 S_n =×3² +×2×3³ +×3×3⁴ + … +(n－1)×3ⁿ +n×3^{n + 1}，   ②

①－②，得：

  －2S_n =(3 + 3² + 3³ + … + 3ⁿ )－n×3^{n + 1} =×－n×3^{n + 1}

       =[(1－2n)×3^{n +1}－].

故S_n =[(2n－1)×3^{n +1} +].