Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，離心率為，的周長(zhǎng)等于，點(diǎn)、在橢圓上，且在邊上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，過(guò)圓上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線和與圓交與點(diǎn)、，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為.

【解析】

（1）由題意可知，即，根據(jù)離心率，可知，再利用，求解即可.

（2）先根據(jù)韋達(dá)定理證明兩切線垂直，得出線段為圓直徑，，再根據(jù)均值不等式，求解即可.

（1）的周長(zhǎng)等于，點(diǎn)、在橢圓上，且在邊上.

，即

又離心率

，則

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）設(shè)，則

當(dāng)兩條切線中有一條切線的斜率不存在時(shí)，即，，

則另一條切線的斜率為，從而.

當(dāng)切線斜率都存在，即時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的橢圓的切線方程為

則，即

則

即

設(shè)切線和的斜率分別是，.

則，為方程的兩根

即

從而，則線段為圓直徑，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，取得最大值為.

綜上所述，取得最大值為.