Question

9．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足sinBcosA=-（2sinC+sinA）cosB．
（1）求角B的大小；
（2）求函數f（x）=2cos2x+cos（2x-B）在區間$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值及對應的x的值．

Answer 1

分析 （1）根據和與差的公式和正弦定理可得角B的大小；
（2）根據B角化簡f（x），x∈$[0，\frac{π}{2}]$上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，即可求出f（x）的最小值和對應的x的值．

解答 解：（1）由已知sinBcosA=-（2sinC+sinA）cosB，
得：sinBcosA=-2sinCcosB-sinAcosB，
∴sinBcosA+sinAcosB=-2sinCcosB
即sinC=-2sinCcosB，
∴$cosB=-\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π
∴$B=\frac{2π}{3}$．
（2）由（1）得$B=\frac{2π}{3}$．
∴$f（x）=2cos2x+cos2xcos\frac{2π}{3}+sin2xsin\frac{2π}{3}$=$\frac{3}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x$=$\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）$
當$x∈[0，\frac{π}{2}]$上時，
可得：$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$，
當$2x+\frac{π}{3}=\frac{4π}{3}$時，即$x=\frac{π}{2}$時，f（x）取得最小值，即$f（\frac{π}{2}）=\sqrt{3}×（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）=-\frac{3}{2}$．
∴函數f（x）在區間$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值為$-\frac{3}{2}$，此時$x=\frac{π}{2}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，和與差的公式和正弦定理的計算，第二問利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．