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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

設(shè)a、b、c為一個三角形的三邊，S=(a+b+c)，且S²=2ab，求證：S＜2a.

思路解析：條件與結(jié)論之間的關(guān)系不明顯，可先結(jié)合條件把結(jié)論作適當轉(zhuǎn)化，把S＜2a轉(zhuǎn)化為b+c＜3a，結(jié)合S²=2ab轉(zhuǎn)化為b＜S.

證明：要證S＜2a，由于S²=2ab，只需證S＜，即b＜S，只需證2b＜a+b+c，即b＜a+c.

由于a、b、c為一個三角形的三邊，所以上式成立，于是原命題成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•眉山一模）設(shè)函數(shù)f（x）對其定義域內(nèi)的任意實數(shù)x1與x2都有f(

x1+x2

)≥

f(x1)+f(x2)

，則稱函數(shù)f（x）為上凸函數(shù)．若函數(shù)f（x）為上凸函數(shù)，則對定義域內(nèi)任意x₁、x₂、x₃，…，x_n都有f(

x1+x2+…+xn

)≥

f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

（當x₁=x₂=x₃=…=x_n時等號成立），稱此不等式為琴生不等式，現(xiàn)有下列命題：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函數(shù)；
②二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）是上凸函數(shù)的充要條件是a＞0；
③f（x）是上凸函數(shù)，若A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是f（x）圖象上任意兩點，點C在線段AB上，且

=λ

，則f(

x1+λx2

1+λ

)≥

f(x1)+λf(x2)

1+λ

；
④設(shè)A，B，C是一個三角形的三個內(nèi)角，則sinA+sinB+sinC的最大值是

．
其中，正確命題的序號是

①③④

（寫出所有你認為正確命題的序號）．

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