Question

設函數f（x）對其定義域內的任意實數，則稱函數f（x）為上凸函數． 若函數f（x）為上凸函數，則對定義域內任意x₁、x₂、x₃，…，x_n都有（當x₁=x₂=x₃=…=x_n時等號成立），稱此不等式為琴生不等式，現有下列命題：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函數；
②二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）是上凸函數的充要條件是a＞0；
③f（x）是上凸函數，若A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是f（x）圖象上任意兩點，點C在線段AB上，且；
④設A，B，C是一個三角形的三個內角，則sinA+sinB+sinC的最大值是．
其中，正確命題的序號是    （寫出所有你認為正確命題的序號）．

Answer 1

【答案】分析：作圖可知①正確，②不正確．對于③，如圖，因為f（x）上凸函數，則點C在點D的下方，點C的縱坐標為，點D的坐標為，故≥．對于④，因為f（x）=sinx在上是凸函數，由琴生不等式知．
解答：解：作圖可知①正確，②不正確．
對于③，如圖，因為f（x）上凸函數，則點C在點D的下方，點C的縱坐標為，
點D的坐標為，
于是得≥，即③正確．
對于④，因為f（x）=sinx在上是凸函數，
由琴生不等式知，
即，
所以，
當A=B=C時，取④正確．
綜上所述，正確命題是①③④．
點評：本題考查命題真假的判斷與應用，解題時要認真審題，注意數形結合思想的靈活運用，挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．