Question

（2012•眉山一模）設函數f（x）對其定義域內的任意實數x1與x2都有f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

，則稱函數f（x）為上凸函數． 若函數f（x）為上凸函數，則對定義域內任意x₁、x₂、x₃，…，x_n都有f(

x1+x2+…+xn

n

)≥

f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

n

（當x₁=x₂=x₃=…=x_n時等號成立），稱此不等式為琴生不等式，現有下列命題：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函數；
②二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）是上凸函數的充要條件是a＞0；
③f（x）是上凸函數，若A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是f（x）圖象上任意兩點，點C在線段AB上，且

AC

=λ

CB

，則f(

x1+λx2

1+λ

)≥

f(x1)+λf(x2)

1+λ

；
④設A，B，C是一個三角形的三個內角，則sinA+sinB+sinC的最大值是

3 3

2

．
其中，正確命題的序號是

①③④

（寫出所有你認為正確命題的序號）．

Answer 1

分析：作圖可知①正確，②不正確．對于③，如圖，因為f（x）上凸函數，則點C在點D的下方，點C的縱坐標為

f(x1)+λf(x2)

1+λ

，點D的坐標為(

x1+λx2

1+λ

，f(

x1+λx2

1+λ

))，故f(

x1+λx2

1+λ

)≥f(

x1+λx2

1+λ

)．對于④，因為f（x）=sinx在(0，

π

2

)上是凸函數，由琴生不等式知

3

2

≥

sinA+sinB+sinC

3

．

解答：解：作圖可知①正確，②不正確．
對于③，如圖，因為f（x）上凸函數，則點C在點D的下方，點C的縱坐標為

f(x1)+λf(x2)

1+λ

，
點D的坐標為(

x1+λx2

1+λ

，f(

x1+λx2

1+λ

))，
于是得f(

x1+λx2

1+λ

)≥f(

x1+λx2

1+λ

)，即③正確．
對于④，因為f（x）=sinx在(0，

π

2

)上是凸函數，
由琴生不等式知sin

A+B+C

3

≥

sinA+sinB+sinC

3

，
即

3

2

≥

sinA+sinB+sinC

3

，
所以sinA+sinB+sinC≤

3 3

2

，
當A=B=C時，取④正確．
綜上所述，正確命題是①③④．

點評：本題考查命題真假的判斷與應用，解題時要認真審題，注意數形結合思想的靈活運用，挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．