Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）求實(shí)f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時(shí)，求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)奇偶性的判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）直接由對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0聯(lián)立不等式組求得函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）直接利用奇函數(shù)的定義判斷f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅲ）由f（x）＞0，得log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，即log_a（x+1）＞log_a（1-x），然后對(duì)a＞1和0＜a＜1分類(lèi)求解f（x）＞0的解集．

解答： 解：（Ⅰ）由

x+1＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1．
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）；
（Ⅱ）f（x）為奇函數(shù)．
事實(shí)上，f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）=loga

1+x

1-x

．
定義域?yàn)椋?1，1），
f(-x)=loga

1-x

1+x

=loga(

1+x

1-x

)-1=-loga

1+x

1-x

=-f（x）．
∴函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)；
（Ⅲ）由f（x）＞0，得log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，
即log_a（x+1）＞log_a（1-x）①．
當(dāng)a＞1時(shí)，①等價(jià)于

-1＜x＜1 x+1＞1-x

，解得：0＜x＜1；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，①等價(jià)于

-1＜x＜1 x+1＜1-x

，解得：-1＜x＜0．
∴當(dāng)a＞1時(shí)，不等式f（x）＞0的解集為：{x|0＜x＜1}；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式f（x）＞0的解集為：{x|-1＜x＜0}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)奇偶性的判定方法，訓(xùn)練了利用函數(shù)的單調(diào)性求解對(duì)數(shù)不等式，是基礎(chǔ)題．