Question

17．若tanα，tanβ是方程x²-3$\sqrt{3}$x+4=0的兩個(gè)根，且$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，則α+β=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 由tanα，tanβ是方程x²-3$\sqrt{3}$x+4=0的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理表示出兩根之和與兩根之積，表示出所求角度的正切值，利用兩角和的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將表示出的兩根之和與兩根之積代入即可求出tan（α+β）的值，根據(jù)α與β的范圍，求出α+β的范圍，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，由求出的tan（α+β）的值即可求出α+β的值．

解答 解：依題意得tanα+tanβ=3$\sqrt{3}$，tanα•tanβ=4，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{3\sqrt{3}}{1-4}$=-$\sqrt{3}$．
又∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴α+β∈（0，π），
∴α+β=$\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用韋達(dá)定理及兩角和的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，本題的關(guān)鍵是找出α+β的范圍，屬于基礎(chǔ)題．