Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是橢圓上不同的三點，，，在第三象限，線段的中點在直線上．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求點C的坐標；

（3）設動點在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點，證明為定值并求出該定值．

 

Answer 1

(1)；(2)；(3)．

【解析】

試題分析：(1)已知橢圓過兩點，可把兩點坐標代入方程列出關于的方程組，然后把分別作為整體，方程組就變為二元一次方程組，從而可很快解得；(2)關鍵是線段的中點在直線上，可設，由線段中點為，而直線的方程可求得，代入可得的一個方程，點坐標代入橢圓方程又得另一方程，聯立可解得點坐標；(3)這類問題我們采取設而不求的方法，設，在直線上，則，同理，

，下面我們想辦法把用表示出來，這可由共線，共線得到，這里要考查同學計算能力，只要計算正確，就能得出正確結論．

試題解析：（1）由已知，得解得 2分

所以橢圓的標準方程為． 3分

（2）設點，則中點為．

由已知，求得直線的方程為，從而．①

又∵點在橢圓上，∴．②

由①②，解得（舍），，從而． 5分

所以點的坐標為． 6分

（3）設，，．

∵三點共線，∴，整理，得． 8分

∵三點共線，∴，整理，得． 10分

∵點在橢圓上，∴，．

從而． 14分

所以． 15分

∴為定值，定值為． 16分

考點：(1)橢圓的標準方程；(2)中點問題；(3)定值問題．