Question

如圖樹頂A離地面am，樹上另一點B離地面bm．在離地面cm的C處看此樹，離此樹多遠時看A、B的視角最大？

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：計算題,解三角形,不等式的解法及應用

分析：過點C作CD⊥AB，設CD=x，根據已知中樹頂A距地面a米，樹上另一點B距地面b米，人眼C離地面c米．我們易求出tan∠ACB，即tan（∠ACD-∠BCD）的表達式，進而根據基本不等式，求出tan∠ACB的范圍及tan∠ACB取最大值時x的值，進而得到答案．

解答： 解：如圖，過點C作CD⊥AB，則AD=a-c，BD=b-c，設CD=x．
由圖可知：tan∠ACB=tan（∠ACD-∠BCD）=

tan∠ACD-tan∠BCD

1+tan∠ACD•tan∠BCD

=

a-c x - b-c x

1+ a-c x • b-c x

=

a-b

x+ (a-c)(b-c) x

≤

a-b

2 (a-c)(b-c)

，
當且僅當x=

(a-c)(b-c)

x

，
即有x=

(a-c)(b-c)

時，等號成立即有取得最大值．
則離此樹

(a-c)(b-c)

m時，看A、B的視角最大．

點評：本題考查的知識點是三角函數的實際應用，兩角差的正切公式，及基本不等式，其中構造適當的三角形，將問題轉化為一個三角函數問題是解答本題的關鍵．