Question

已知x、y、z為實數，A、B、C是三角形的3個內角，證明x²+y²+z²≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：由條件利用誘導公式、兩角和差的余弦公式吧要證的不等式等價轉化為 （x-ycosC-zcosB）²+（ysinC-zsinB）² ≥0，再根據此不等式顯然成立，從而證得要證的不等式．

解答： 證明：x²+y²+z²≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC 等價于x²+y²+z²-x（2ycosC+2zcosB）-2yzcosA≥0，
等價于 （x-ycosC-zcosB）²+y²+z²-2yzcosA-（ycosC+zcosB）²≥0，
等價于 （x-ycosC-zcosB）²+y²sin²C+z²sin²B-yz（2cosA+2cosCcosB）≥0，
等價于 （x-ycosC-zcosB）²+y²sin²C+z²sin²B-yz[-2cos（B+C）+2cosCcosB]≥0，
等價于 （x-ycosC-zcosB）²+y²sin²C+z²sin²B-yz 2sinBsinC≥0，
等價于 （x-ycosC-zcosB）²+（ysinC-zsinB）² ≥0．
上不等式顯然成立，故原命題成立，當且僅當 x=ycosC+zcosB，且ysinC=zsinB時，取等號．

點評：本題主要考查利用恒等變換法證明不等式，誘導公式、兩角和差的余弦公式，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．