Question

實數x，y滿足x2+

y2

4

=1，則2x+y的最大值為

2

2

．

Answer 1

分析：令t=2x+y，可得y=t-2x，代入已知等式并整理成關于x的一元二次方程形式．根據關于x的方程有實數根，運用根的判別式建立關于t的不等式，解之即可得到實數t的取值范圍，從而得到2x+y的最大值．

解答：解：令t=2x+y，可得y=t-2x，代入x2+

y2

4

=1，
得x²+

1

4

（t-2x）²=1
化簡整理，得2x²-tx+

1

4

t²-1=0
∵方程2x²-tx+

1

4

t²-1=0有實數根
∴△=t²-4×2×（

1

4

t²-1）≥0，整理得t²≤8，
解之得-2

2

≤t≤2

2

因此，t的最大值為2

2

，即2x+y的最大值為 2

2

故選：2

2

點評：本題給出關于x、y的二次方程，求2x+y的最大值．著重考查了一元二次方程根的判別式、二次不等式的解法等知識，屬于基礎題．化二元方程為一元方程，運用根的判別式解題，是本題得到解決的關鍵所在．