Question

若實數x，y滿足x²+4y²=4，則

xy

x+2y-2

的最大值為（　　）

• A．

  1- 2

  2

• B．1-

  2

• C．

  1+ 2

  2

• D．1+

  2

Answer 1

分析：先根據實數x，y滿足x²+4y²=4，利用三角換元法：設x=2cosθ，y=sinθ，代入

xy

x+2y-2

化簡，最后利用三角函數的性質即可得出

xy

x+2y-2

的最大值．

解答：解：∵實數x，y滿足x²+4y²=4，
∴設x=2cosθ，y=sinθ，
則

xy

x+2y-2

=

2cosθsinθ

2cosθ+2sinθ-2

=

(sinθ+cosθ)2-1

2(sinθ+cosθ-1)

=

sinθ+cosθ+1

2

=

2

2

sin(θ+

π

4

)+

1

2

，
∴當θ=

π

4

時，

xy

x+2y-2

取最大值為

1+ 2

2

．
故選C．

點評：本小題主要考查二元函數最值的求法、三角函數的性質等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于中檔題．