Question

如果實數x，y滿足x²+y²=1，則（1+xy）（1-xy）有（　　）

• A．最小值

  1

  2

  和最大值1
• B．最大值1和最小值

  3

  4

• C．最小值

  3

  4

  而無最大值
• D．最大值1而無最小值

Answer 1

分析：觀察到sin²θ+cos²θ=1，則可做三角代換令x=sinθ，y=cosθ，利用二倍角的正弦與降冪公式即可求得答案．

解答：解：∵x²+y²=1，
∴x=sinθ，y=cosθ，
∴（1-xy）（1+xy）
=1-x²y²
=1-（sinθcosθ）²
=1-(

1

2

sin2θ)2
=1-

1

4

sin²2θ，
當sin2θ=0時，1-

1

4

sin²2θ有最大值1；
當sin2θ=±1時，1-

1

4

sin²2θ有最小值

3

4

．
∴（1-xy）（1+xy）的最大值是1，最小值是

3

4

．
故選：B．

點評：本題考查三角代換，著重考查二倍角的正弦與正弦函數的值域，考查圓的參數方程的應用，屬于中檔題．